复数经典例题VIP专享VIP免费

经典例题透析 类型一：复数的有关概念 例1．已知复数22276(56) ()1aazaai aRa，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为： （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 思路点拨：根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的a 值. 解析： （1）当z 为实数时， 有2256010aaa 1661aaaa   或， ∴当6a 时，z 为实数. （2）当z 为虚数时， 有2256010aaa 16161aaaaa    且且， ∴当a∈（－∞，－1）∪（－1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z 为虚数. （3）当z 为纯虚数时， 有2225607601aaaaa166aaaa  且 ∴不存在实数a 使 z 为纯虚数. 总结升华：由于 a∈R，所以复数z 的实部与虚部分为22761aaa与256aa. ①求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义，否则本小题将出现增解； ②求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题； ③求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为0），还需虚部不为0，两者缺一不可. 举一反三： 【变式1】设复数z=a+bi（a、b∈R），则 z 为纯虚数的必要不充分条件是（ ） A．a=0 B．a=0 且 b≠0 C．a≠0 且 b=0 D．a≠0 且 b≠0 【答案】A；由纯虚数概念可知：a=0 且 b≠0 是复数z=a+bi（a、b∈R）为纯虚数的充要条件.而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择 A. 【变式2】若复数2(32 )(1)aaai是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1 【答案】B； 2(32 )(1)aaai是纯虚数，∴2320aa且10a  ，即2a . 【变式3】如果复数2()(1)mimi是实数，则实数m=（ ） A．1 B．－1 C．2 D．2 【答案】B； 【变式4】求当实数m 取何值时，复数 22(2 )(32 )zmmmmi分别是： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数. 【答案】 （1）当2320mm即1m  或2m 时，复数z 为实数； （2）当2320mm即1m  且2m 时，复数z 为虚数； （3）当0230222mmmm即1m   时，复数z 为纯虚数. 类型二：复数的代数形式的四则运算 例 2. 计算： ...