复合泊松分布及其性质 称随机变量1NiiSX 服从参数为 的复合泊松分布，如果满足 1 ．随机变量N ,12,,,nXXX 是相互独立 2 ．若12,,,nXXX具有相同的分布，且分布与X 相同 3 ．N 服从泊松分布，参数为0 ( )() ()()E SE X E NE X 222( )() ()()()()()()Var SVar X E NE XVar NVar XE XE X **00( )()( )( )!nnnSnneFxP Nn FxFxn *0( )( )!nnSnefxfxn 定理3 .1 设12,,,nS SS 为相互独立的随机变量，且iS 为参数为i ，个体索赔分布为( )iXfx的复合泊松分布，1,2im，则12nSSSS服从参数为1mii ，且1( )( )imiXXifxfx 的复合分布。 背景： m 可看成m 个保险保单组合，S 则是这 m 个保单组合的总索赔额。 S 也可以看作同一个保单组合在m 个不同年度内的总索赔额 证 明 ：设iS 为参数为i 的复合泊松分布，Si 的矩 母 函数为( )exp[(( )1)]iiSiXMtMt。由于12,,,nS SS 为相互独立的随机变量，因此S 的矩母函数为： 111111( )()()()( )exp(( ))exp((( ) 1))miiiiiitstsSmmtsSiimmiiiimiiMtE eE eE eMtMtMt 设1( )( )imiXXiMtMt ，由矩母函数的定义知，( )XMt为1( )( )imiXXiftft 的矩母函数，因此 ( )exp( (( ) 1))SXMtMt 所以S 为参数为 ，个体索赔分布为( )Xfx 的复合泊松分布。 例：设1S 服从复合泊松分布，1111 0 ,(1 )0 .7 ,(2 )0 .3XXff ，2S 也服从复合泊松分布，22221 5 ,(1 )0 .5 ,(2 )0 .2 ,(3 )0 .2XXXfff ，若1S 和2S 相互独立，求12SSS的分布。 解： S 服从复合泊松分布，1 01 52 5 ，X 的分布为 121 01 5( )( )( )2 52 5XXXfxfkfk 1 01 5(1 )0 .70 .50 .5 82 52 5Xf 1 01 5(2 )0 .30 .30 .3 02 52 5Xf 1 01 5(3 )0 .20 .20 .1 22 52 5Xf 定理：设总索赔额S 是一个复合泊松分布，其中个体保单的索赔额X 的分布( )Xfx 。假设X 的取值可以分为 m 种类型：12,,,mC CC ，其中()iiP XC 。设N 表示索赔发生总次数，1,,mNN 分别表示12,,,mC CC 类型索赔发生的次数， 12mNNNN...
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