复合函数的零点问题VIP专享VIP免费

复合函数的零点问题 I．题源探究·黄金母题 【例 1】设函数1, 0,( )11,11xxaaf xxaxa  （a 为常数且0 ,1a ）． 若0x 是 ff xx的零点但不是  f xx的零点，则称0x 为( )f x的二阶周期点，求函数( )f x的二阶周期点． 【答案】函数( )f x有且仅有两个二阶周期点，121axaa ，2211xaa ． 【解析】2222221,0,1(),,(1)( ( ))1(),1 ,(1)1(1),11 .(1)xxaaaxaxaaaff xxa axaaaxaaxaa   当20xa时，由21 xxa解得0x ，由于  00f，故0x 不是  f x 的二阶周期点； 当2axa时，由1()(1) axxaa解得21axaa 2(, ),aa因222211()1111aaafaaaaaaaaa     ，故21axaa 是( )f x的二阶周期点； 当21axaa 时，由21()(1)xaxa解得12xa2( ,1 )a aa，因精彩解读 【试题来源】2013 年高考江西卷改编． 【母题评析】本题以新定义的形式考查复合函数、分段函数的零点，难度较大．新定义（信息题）是近几年来高考的一个热点． 【思路方法】理解定义，写出复合函数的解析式，再利用函数与方程思想、分类分类讨论思想、数形结合思想解题． 111112122faaaa故12xa不是( )f x 的二阶周期点； 当211aax 时，1(1)(1)xxaa解得211xaa  2(1,1)aa，因22221111()(1)11111afaaaaaaaaa•， 故211xaa 是( )f x 的二阶周期点． 综上：函数( )f x 有且仅有两个二阶周期点，121axaa ，2211xaa ． II．考场精彩·真题回放 【例 2】【2017 年高考江苏卷】设( )f x 是定义在 R 且周期为 1的函数，在区间[0,1) 上，2,,( ),,xxDf xxxD  其中集合1,*nDx xnnN，则方程( )lg0f xx的解的个数是 ▲ ． 【答案】8 【解析】由于( )[0,1)f x  ，则需考虑110x 的情况 在此范围内，xQ 且xZ 时，设*, ,,2qxp qppN ，且,p q 互质 若lg xQ ，则由lg(0,1)x ，可设*lg,,,2nxm nmmN ，且,m n 互质 因此10nmqp ，则10()...