复变函数第二章答案VIP专享VIP免费

第二章 解析函数 1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ( )Re .f xzz 解: 因 0()( )limzf zzf zz  0()Re()Relimzzzzzzzz    0ReReRelimzzzzzzzz     0Relim(ReRe)zzzzzz   000Relim(Re)lim(Re),zxyzxzzzzzxi y      当0z 时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z 时,上述极限为0,故导数为0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2( ).f zz z 解: 22222222( )| |()()()(),f zz zz z zzzxyxiyx xyiy xy   这里2222( , )(), ( , )().u x yx xyv x yy xy 2222222,2,2,2.xyyxuxyxvxyyuxyvxy 要,xyyxuv uv ，当且当 0,xy而,,,xyxyu uv v 均连续，故2( ).f zz z仅在0z 处可导，处处不解析. (2) 3223( )3(3).f zxxyix yy 解: 这里322322( , )3, ( , )3.33,xu x yxxyv x yx yy uxy 226,6,33,yxyuxy vxy vxy  四个偏导数均连续且,xyyxuv uv 处处成立,故( )f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) ( ,).azb c dczd至少有一不为零 解: 当0c 时，( )azbf zczd除dzc 外在复平面上处处解析, dzc 为奇点, 222( )()() ()() ()()()().()()azbfzczdazbczdczdazbczda czdc azbadcbczdczd 当0c 时，显然有0d ，故( )azbf zd在复平面上处处解析，且( )afzd. 4.若函数( )f z 在区域D 内解析,并满足下列条件之一,试证( )f z 必为常数. (1) ( )f z 在区域D 内解析; (2) 2;vu (3) arg( )f z 在D 内为常数; (4) ( , ,).aubvc a b c为不全为零的实常数 证 (1) 因为( )f z 在D 中解析,所以满足CR条件 ,,uvuvxyyx  又( )f zuiv也在D 中解析,也满足CR条件 ()(),.uvuvxyyx    从而应有0uuvvxyxy恒成立,故在D 中 ,u v 为常数, ( )f z 为常数. (2) 因( )f z 在D 中解析且有2( )f zuiu,由CR...