复变函数留数复习题VIP专享VIP免费

5.1 指出下列函数的奇点及其类型，若是极点，指出它的级： （1）3211zzz ；（2）23211zz ；（3）1zze  ；（4）21nnzz ；（5）ln+1zz； （6）3sin zz；（7）211zze ；（8）2sinzezz。 解：（1） 23211111zzzzz，奇点：1（二级极点），-1（一级极点）； （2）奇点：0（三级极点），i （二级极点）； （3） 11110111nzzznnee eez，1z 为本性奇点； （4）令10nz  ，得：210, 1, 2kinkzek ， 因为10knz zz，所以21kine是一级极点； （5）0ln+1lim1zzz ，0z是可去奇点； （6）30sinlimzzz  ，且0z是sin z的一级极点，是3z 的三级极点，所以0z是3sin zz 的二级极点； （7）0z是21zze 的三级零点，所以是211zze 的三级极点， 21, 2zk ik  均为一级极点； （8）23522sin1 123!5!zezzzzzzzz！ 0z是一级极点。 5.4 求下列函数在各有限奇点处的留数： （1）241zez；；（3）3211z；（5）21sinzz ； 解：（1）22344114822!3!zezzzzz  14Re,03s f zc ； （3）zi  是三级极点，  333221113Re,lim2!1611ziisiz izz，  333221113Re,lim2!1611ziisiz izz； （5） 2221011sin21 !nnnzzznz， 2111Resin,06s zcz  ； 5.6计算下列函数在 z   的留数： （1）21ze；（2）cossinzz；（3）223zz；（4）21zez  解：（1）212421111102!znezzzn z  ！ 展开式中不含正幂项，所以 z   是21ze的可去奇点，且10c ， 所以21Re,0zs e ； （2）234cossin12!3!4!zzzzzzz   z   是cossinzz的本性奇点，Recossin ,0szz ； （3） 2202221231331nnnnzzzzzz 2423913zzzz  z   是223zz的可去奇点，22Re,23zsz  ； （4...