复变函数在工程中的应用 北京航空航天大学 1 浅析复变函数在工程中的应用 作为一名学习电子信息的学生，我能感受到复变函数在学习中的大量运用，现在正在学习的《电磁场与电磁波》，《信号与系统》中时刻出现复变函数的简单应用。经过查阅，我想从自己熟悉的角度谈一下复变函数在工程中的应用，主要分为两个方面，一个方面是电磁场中的复变函数方法，一个方面是积分变换及其在通信中的应用。 导入： 在学习电磁场的过程中，我曾经接触过这样一道题目，题目如下： 由于在给某些定边值的静电场问题中，在直角坐标系中无法找到简单形式的试探解。通常采用叠加原理和傅里叶级数来构成一个满足边界条件的试探解，然后运用傅里叶级数的相关知识求出待定系数即可。 例如此题中是将ᵄᵆ（x）= ᵄ0用傅里叶级数做了展开 而ᵃᵅ的求法便是应用复变函数中的傅里叶级数知识， 复变函数在工程中的应用 北京航空航天大学 2 看到这道题后你的第一思路可能是这种不能凑成势能相应形式的题目没有办法解，但是当你深入到复变函数中的傅里叶中的级数展开，你的思路便展开了，由于傅里叶级数可以展开成无数个频率不同，幅度不同的正弦余弦，而正弦余弦形式的解的形式我们是可以解答的，所以我们可以解出这道题，由求出的系数带入到原来的傅里叶级数∅，便可以求出最终解。 经过这道题目，我初步了解到了复变函数的初步作用，即它可以提供一种逼近思想，它可以将一个常数经过傅里叶级数展开变成一个由无数多个不同幅度，不同频率的正余弦函数的和，用信号与系统中的分析思想就是由实数域转换到了复频域。 复变函数在静电场问题中的应用： 在电磁场的学习中，我们在“静电场的标量位”这一章中接触到了复变函数在静电场问题中的应用。 如果一个系统为场量和源量分布只与x 和y 有关的二维静电场系统。因为在二维无源区域内，静电位满足二维拉普拉斯方程，即 ∇2∅（x，y）=ᵱ2(ᵆ,ᵆ)ᵱᵆ2 + ᵱ2(ᵆ,ᵆ)ᵱᵆ2 我们发现，此时的点位是一个调和函数，通过复变学习我们已经知道，解析函数的实部和虚部都是调和函数，而且是一对共轭的调和函数。因此，我们可以使用复变函数这一数学工具来解决 二维静电场问题。 由此在电磁场中引 出了复电位的概 念 ，若 f（ᵆ̇）= u(x,y)+ jv(x,y), 则 ᵱ2ᵆ(ᵆ,ᵆ)ᵱᵆ2 + ᵱ2ᵆ(ᵆ,ᵆ)ᵱᵆ2 =0… … … … … … （1） ᵱ2ᵆ(ᵆ,ᵆ)ᵱᵆ2 + ᵱ2ᵆ(ᵆ,ᵆ)ᵱᵆ2 =0… … … … … … ...
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