1 圆的切线的证明方法 天津四中 杨建成 平面内直线和圆存在着三种位置关系，即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交，这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。那么怎样证明直线和圆相切呢？证明直线是圆的切线大体上有三种方法： ⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； ⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； ⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 其中⑴是切线的定义，它是从直线与圆的交点的角度来判断直线和圆的位置关系；⑵是从圆心到直线的距离d 与圆的半径r的数量关系的角度来判断；⑶是根据切线的判定定理进行判断。⑵和⑶都是由⑴推演出来的。 在几何证明中，常用的是最后一种方法，具体的证法有两种：①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。 例 1.如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B， OC 平行于弦AD，求证CD 是⊙O 的切线。 ［分析］：因直线CD 与⊙O 有公共点D，故应采用“连半径，证垂直”的方法。 ［证明］：连结OD OC∥ AD ∴∠COB=∠ DAO， ∠ COD=∠ ADO OA=OD ∴∠DAO=∠ ADO ∴∠COB=∠ COD 在 △DOC 和 △BOC 中 OD=OB，∠COD=∠ COB 2 OC=OC ∴△DOC≌△BOC ∴∠CDO=∠ CBO AB 是⊙O 的直径，BC 是切线 ∴∠CBO=90° ∴∠CDO=90° OD 是⊙O 的半径 ∴ CD 是⊙O 的切线 例 2.如图，已知两个同心圆O 中，大圆的弦AB、 CD 相等，且AB 与小圆相切于点E，求证：CD 是小圆的切线。 ［分析］： 因直线CD 与⊙O 无公共点，故应采用“作垂直，证半径”的方法。 ［证明］：连结OE，过O 点作OF⊥ CD 于 F AB 与小圆相切于点E ∴ OE⊥ AB ∴ AE=BE， CF=DF AB=CD ∴ AE=CF 在 Rt△AEO 和 Rt△CFO 中 OA=OC， AE=CF ∴ Rt△AEO≌ Rt△CFO ∴ OE=OF ∴ CD 是小圆的切线 例 3.如图，已知在△ABC 中，CD 是 AB 上的高，且CD=1/2AB， E、 F 分别是AC、BC 的中点，求证：以EF 为直径的⊙O 与 AB 相切。 ［分析］：因直线AB 与⊙O 无公共点，故应采用“作垂直，证半径”的方法。 ［证明］：过O 点作OH⊥ AB 于 H E、 F 分别为A...
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