初中三角函数 1．1 正弦和余弦 例1 已知0°≤α≤90°．（1）求证：sin2α+cos2α=1； （2）求证：sinα+cosα≥1，讨论在什么情形下等号成立； （3）已知sinα+cosα=1，求 sin3α+cos3α的值． 证明 （1）如图 6-1，当 0°＜α＜90°时，sinα=BC/AB，cosα=AC/AB，所以在这种情形下 当α=0°时，sinα=0，cosα=1；当α=90°，sinα=1，cosα=0．所以在这两种情形下仍有 sin2α+cos2α=1． （2）如图 6-1，当 0°＜α＜ 90°时，sin α=BC/AB ，cos α=AC/AB ．所以在这种情形下 当α=0°时，sinα+cosα=0+1=1；当α=90°时，sinα+cosα=1+0=1．所以当 0°≤α≤90°时，总有 sinα+cosα≥1， 当并且只当α=0°或α=90°时，等号成立． （3）由于已知sina+cos α=1．由（2）可知α=0°或α=90°，所以总有 sin 3α+cos 3α=1． 例2 求证：对于0°≤α≤90°， 证法一 如图 6-1，设 BC=a，AC=b，AB=c．由锐角三角函数 当α=0°或α=90°时，容易验证以上等式仍成立． 证法二 点评 证法一是根据锐角三角函数的定义；证法二用了公式sin2α+cos2α=1． 证明一个三角恒等式成立，可变换等号左（右）端的式子，如得到等号右（左）端的式子，原恒等式就被证明了．一般对较复杂的式子进行变换，也可以对等号左、右的式子都进行变换，如得到相同的式子，原恒等式就被证明了． 1．2 正切和余切 证明 （1）当0°＜α＜90°时，如图 6-2， 当α=0°时，tgα=0，sinα=0，cosα=1．所以仍有 tgα= （2）α必须满足不等式： 0°＜α＜90°． 如图 6-2， 所以tgα·ctgα=1． 例2 已知锐角α，且 tgα是方程 x2-2x-3=0 的一个根，求 解法一 x2-2x-3=0 的两根为 3 和-1．这里只能是 tgα=3． 如图 6-3，由于 tgα=3．因此可设 BC=3，AC=1，从而 解法二 tgα=3，用 cos2α除原式分子、分母，得 证法一 如图6-2，设BC=a，AC=b，AB=c，则 所以原式成立． 证法二 等式的左端 点评 这里α≠0°，90°． 怎样理解锐角三角函数的概念？ 答：现行初中几何课本中给出锐角三角函数的定义，是依据这样一个基本事实：在直角三角形中，当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值是一个固定的值． 关于这点，我们看图1，图中的直角三角形 AB1C1，AB2C2，AB3C3，…都有一个相等的锐角 A，即锐角 A 取一个固定值．如图所示，许许多多直角三角形中相等的那个锐角叠合在一起，并使一条直...
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