三角形内外角平分线 一.命题的证明及应用 在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下． 命题1 如图１，点D 是△ABC 两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A． 证明：如图１： ∠1＝∠，∠２＝∠， ∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°① ∠1＋∠2＋∠D=180°② ①－②得： ∠1＋∠2＋∠A＝∠D③ 由②得： ∠1＋∠2=180°－∠D④ 把③代入④得： ∴180°－∠D＋∠A＝∠D ∠D=90°+∠A． 点评 利用角平分线的定义和三角形的内角和等于 180°，不难证明. 命题2 如图２，点D 是△ABC 两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A． 证明：如图２： DB 和DC 是△ABC 的两条外角平分线， ∴∠D=180°－∠1－∠2 =180°－（∠DBE+∠DCF） =180°－（∠A+∠4+∠A+∠3） =180°－ （∠A+180°） =180°－ ∠A－90° =90°－ ∠A； 点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于 180°，可以证明. 命题 3 如图3，点 E 是△ABC 一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A． 证明：如图3： ∠1=∠2，∠3=∠4， ∠A+2∠1=2∠4① ∠1+∠E=∠4② ①×代入②得： ∠E=∠A． 点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明. 命题4 如图４，点E 是△ABC 一个内角平分线BE 与一个外角平分线CE 的交点，证明:AE 是△ABC 的外角平分线. 证明：如图3： BE 是∠ABC 的平分线,可得：EH=EF CE 是∠ACD 的平分线, 可得：EG=EF ∴过点E 分别向AB、AC、BC 所在的直线引垂线，所得的垂线段相等. 即EF=EG=EH EG=EH ∴AE 是△ABC 的外角平分线． 点评 利用角平分线的性质和判定能够证明． 应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看． 例1 如图5，PB 和PC 是△ABC 的两条外角平分线． ①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数. ②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？ 解析：①由命题2 的结论直接得：∠P=90°－ ∠A=90°－ ×60°=60° ②根据命题2 的结论∠P=90°－ ∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形． 点评 此题直接运用命题2 的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形...
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