2柯西不等式与排序不等式课件 新人教A版选修4 课件VIP专享VIP免费

考纲要求 1.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明． (1)柯西不等式的向量形式：|α|·|β|≥|α·β|. (2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. (3) x1－x22＋y1－y22＋x2－x32＋y2－y32≥ x1－x32＋y1－y32(通常称为平面三角不等式)． 2．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： i＝1na2i·i＝1nb2i≥(i＝1naibi)2. 3．会用上述不等式证明一些简单问题，能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值． 热点提示 本部分内容属“了解”层次，要求掌握定理的基本应用即可，高考难度不会太大. 2 ．向量形式的柯西不等式：如果 α ， β 是两个向量，则 |α·β|≤|α||β| ，当且仅当 β 是零向量，或存在实数 k ，使 α ＝ kβ 时，等号成立．4 ．一般形式的柯西不等式：如果 a1， a2， a3…，an，b1 ， b2 ， b3…，， bn 都是实数，则 (a ＋ a ＋ a…＋＋ a)(b ＋ b ＋ b…＋＋ b)≥(a1b1 ＋ a2b2 ＋ a3b3…＋＋ anbn)2 ， ．5 ．排序不等式：设 a1≤a2≤…≤an ， b1≤b2≤…≤bn 为两组实数， c1 ， c2…，， cn 是 b1 ， b2…，， bn 的任一排列，那么 ，当且仅当 a1 ＝ a2…＝＝ an ，b1＝ b2…＝＝ bn时，反序和等于顺序和．当且仅当 bi ＝0(i ＝ 1,2,3 ，…， n) 或存在实数 k ，使 ai ＝ bi(i ＝1,2,3 ，…， n) 时，等号成立a1bn ＋ a2bn － 1 ＋…＋ anb1≤a1c1 ＋ a2c2 ＋…＋ancn≤a1b1 ＋ a2b2 ＋…＋ anbn6 ．贝努利不等式：如果 x 是实数，且 x> － 1 ， x≠0 ，n 为大于 1 的自然数，那么有.7 ．贝努利不等式的一般形式：设 x> － 1 ，则(1) 当时，有 (1 ＋ x)α≤1 ＋ αx ；(2) 当时，有 (1 ＋ x)α≥1 ＋ αx ；以上两式当且仅当 x ＝ 0 时，等号成立．(1 ＋ x)n>1 ＋ nx0<α<1α>1 或 α<01 ．已知 x 、 y 、 z∈R ＋，且 x ＋ y ＋ z ＝ 1 ，则 x2＋ y2 ＋ z2 的最小值是( )解析：x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)×13≥(1×x＋1×y＋1×z)2·13＝13.当且仅当 x＝y＝z＝13时等号成立． 答案： B2．设(x－3)2＋(y－3)2＝6，则yx的最大值为________． 解析：设 k＝yx，则 kx－y＝0，应用柯西不等式． [(x－3)2＋(y－3)2]·[k2＋(－1)2] ≥[k(x－3)－(y－3)]2＝(3－3k)2， 即 6(k...