第一节 两个基本计数原理基础梳理1. 分类计数原理 ( 加法原理 )完成一件事，有 n 类方式，在第 1 类方式中有 m1 种不同的方法，在第 2 类方式中有 m2 种不同的方法，… , 在第 n 类方式中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N= 种不同的方法 .2. 分步计数原理 ( 乘法原理 )完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法，…，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法 .12...nmmm12...nmmm 典例分析题型一 分类计数原理和分步计数原理的简单应用【例 1 】甲同学有若干本课外参考书，其中有 5 本不同的数学书， 4 本不同的物理书， 3 本不同的化学书 . 现在乙同学向甲同学借书 , 试问：（ 1 ）若借一本书，则有多少种不同的借法？（ 2 ）若每科各借一本，则有多少种不同的借法？（ 3 ）若借两本不同学科的书，则有多少种不同的借法？分析 仔细区分是“分类”还是“分步” .解 （ 1 ）因为需完成的事情是“借一本书”，所以借给他数学、物理、化学书中的任何一本，都可以完成这件事情 .故用分类计数原理，共有 5+4+3=12 （种）不同的借法 .（ 2 ）需完成的事情是“每科各借一本书”，意味着要借给乙三本书，只有从数学、物理、化学三科中各借一本，才能完成这件事情 .故用分步计数原理，共有 5×4×3=60 （种）不同的借法 .（ 3 ）需完成的事情是“从三种学科的书中借两本不同学科的书”，要分三种情况：① 借一本数学书和一本物理书，只有两本书都借，事情才能完成，由分步计数原理知，有 5×4=20 （种）借法；② 借一本数学书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有 5×3=15 （种）借法；③ 借一本物理书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有 4×3=12 （种 ) 借法 .而上述的每一种借法都可以独立完成这件事情，由分类计数原理知，共有 20+15+12=47 （种）不同的借法 .学后反思正确区分和使用两个原理是学好本单元的关键 . 区分“分类”与“分步”的依据在于能否“一次性”完成 . 若能“一次性”完成，则不需“分步”，只需分类；否则就分步处理 .举一反三1. （ 2009· 通州调研）若 5 名运动员争取 3 个项目冠军，则不同的获奖结果有种 .答案： 125解析： 从得冠军角度考虑，分三步，每个项目得冠军的结果有 5 种，共 种 .35...
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