第四章 定 积 分§1 定积分的概念1.1 定积分的背景——面积和路程问题1. 曲边梯形如图 . 由直线 x=a ， x=b(a≠b) ， y=0 和曲线 y=f(x)所围成的图形 ( 图中阴影所示 ).【思考】求曲边梯形的面积运用了什么思想？提示：利用无限逼近的思想，“以直代曲”将曲边梯形分成很多个小曲边梯形，将曲边近似看作直边求面积，再相加 .2. 误差估计(1) 过剩估计值：以小曲边梯形的较长的边为高的矩形面积之和 S.(2) 不足估计值：以小曲边梯形的较短的边为高的矩形面积之和 s. 过剩估计值与不足估计值之差： S-s.【思考】图中阴影部分是由抛物线 y=x2 ，直线 x=1 以及 x 轴所围成的平面图形，能否简述求阴影部分面积 S 的过程？提示： (1) 分割：在区间 [0,1] 上等间隔地插入 n-1 个点，将区间 [0,1] 等分成 n 个小区间：进而得到 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1 ， ΔS2 ，…， ΔSn 显然， S= nii 1S .(2) 近似代替：从图形上看，就是用平行于 x 轴的直线段近似代替小曲边梯形的曲边 ( 如图 ).用小矩形的面积 ΔS′i 近似代替 ΔSi ，即在局部范围内“以直代曲” .(3) 求和： S≈Sn= ΔS′i.(4) 取极限： S= ni 1nninni 1limSlimS . 【素养小测】1. 思维辨析 ( 对的打“√”，错的打“ ×”)(1) 由直线 x=1 ， x=2 ，和曲线 f(x)=-x2 所围成的图形面积为负值 .( )(2) 求曲边梯形的面积时，不足估计值小于等于过剩估计值 .( )(3) 若曲边梯形的面积可求，则不足估计值与过剩估计值的极限相等 .( )提示： (1)×. 面积只能大于等于 0 ，为非负值 .(2)√. 由不足估计值与过剩估计值的概念可知正确 .(3)√. 曲边梯形的面积可求，则 S= Sn= ΔS′i 可为不足估计值，也可为过剩估计值，所以不足估计值与过剩估计值的极限相等 .nlim nini 1limS , ni 12. 物体运动的速度和时间的函数关系式为 v(t)=2t ，估计在区间 [2 ， 8] 内物体运动的路程时，把区间 6等分，则过剩估计值为 ( )A.54B.60C.57D.66【解析】选 D. 要求运动的路程的近似值，需明确路程与小矩形的关系；把区间 6 等分，取每个小区间右端点处的函数值作为该区间的平均速度，则矩形的面积可近似地看作运动的路程；根据以上分析求出矩形面积为(2×3+2×4+2×5+2×6+2×7+2×8)×1=66.3. 做直线运动的...
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