编辑版 word §4.2 换元积分法（第二类）Ⅰ授课题目（章节） ：§4.2 换元积分法（第二类换元 积分 法）Ⅱ教学目的与要求：1.了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法Ⅲ教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换Ⅳ讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分( )g x dx 时如果函数g(x)可以化为[ ( )]( )fxx 的形式那么()( )[( )]( )[( )]( )( )uxg x dxfxx dxfx dxf u du( )F uC[( )]FxC所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[( )]( )fxx 函数来 .对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如dxxa22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(tx将无理函数( )f x 的积分( )f x dx 化为有理式[( )]( )ftt的积分[( )]( )ftt dt 。即( )[( )]( )f x dxftt dt若上面的等式右端的被积函数[( )]( )ftt有原函数( )t，则[( )]( )( )ftt dttC ,然后再把( )t 中的 t 还原成1( )x ，所以需要一开始的变量代换)(tx有反函数。定理 2 设)(tx是单调、可导的函数，且0)(t，又设)()]([ttf有原函数( )t ，则CxCtdtttfdxxf)]([)()()]([)(1分 析要 证 明1( )[( )]f x dxxC， 只 要 证 明1[( )]x的 导 数 为( )f x，1[( )]dddtxdxdtdx，?dtdx编辑版 word 证明)(tx单调、可导，( )xt存在反函数)(1 xt，且)(11tdtdxdxdt11[( )][( )]( )( )( )dddtxfttf xdxdtdxtQ)]([1 x是)(xf是一个原函数Cxdxxf)]([)(1.第二换元法，常用于如下基本类型类型1：被积函数中含有22xa（0a） ,可令taxsin（并约定(,)22t）则taxacos22，tdxadxcos，可将原积分化作三角有理函数的积分.例 1 求dxxa22)0(a解 令taxsin，(,)22t，则taxacos22tdtadxcos22coscosax dxatatdt22211(cos2 )sin 22224aaat dtttC22222sin cosarcsin2222aaaxxtttCaxCa.借助下面的 辅助三角形 把 sin t ， cost 用 x 表示 .例 2 求dxxx224解 令txsin2，(,)22t，则txcos242，tdtdxcos22224sin1cos22cos= 42cos24xttdxtdtdttx= (22cos2 )2sin 2t dtttC222sin cos2arcsin422xxtttCxC编辑版 word 类型2：被积函数中含有)0(22axa可令taxtan并约定(,)22t，则taxasec22；tdtadx2sec；可将原积分化为三角有理函数的积分.例 3 求...
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