拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较[ 摘要 ] 在生产和科研中出现的函数是多样的。对于一些函数很难找出其解读表达式。即使在某些情况下，可以写出函数的解读表达式，但由于解读表达式的结构相当复杂，使用起来很不方便。插值法即是解决此类问题的一种古老的、然而却是目前常用的方法，它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。拉格朗日插值法和牛顿插值法则是二种常用的简便的插值法。本文即是讨论拉格朗日插值法和牛顿插值法的理论及二者的比较。[ 关键词 ] 拉格朗日插值牛顿插值插值多项式比较一、 背景在工程和科学研究中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数)(xf在区间],[ba上存在且连续，但却难以找到它的解读表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值（即一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数)( xf的性态，甚至直接求出其他一些点上的函数值可能是非常困难的。面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解读表达式），构造某个简单函数)( xP作为)(xf的近似。这样就有了插值法，插值法是解决此类问题目前常用的方法。如设函数)( xfy在区间],[ba上连续，且在1n个不同的点bxxxan,,,10上分别取值nyyy,,,10。插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数类中，求一简单函数)(xP，使),,1,0()(niyxPii而在其他点ixx上，作为)( xf的近似。通常，称区间],[ba为插值区间，称点nxxx,,,10为插值节点，称式iiyxP)(为插值条件，称函数类为插值函数类，称)(xP为函数)(xf在节点nxxx,,,10处的插值函数。求插值函数)(xP的方法称为插值法。插值函数类的取法不同，所求得的插值函数)(xP逼近)(xf的效果就不同。它的选择取决于使用上的需要，常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。本文讨论的拉格朗日插值法与牛顿插值法就是这类插值问题。在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超过n 的代数多项式nnxaxaaxP10)(使),,1,0()(niyxPiin，其中，naaa,,,10为实数。拉格朗日插值法即是寻求函数)(xLn（拉格朗日插值多项式）近似的代替函数)(xf。相似的，牛顿插值法则是通过)(xN n（牛顿插值多项式）近似的求得函数的值。二、 理论基础（一）拉格朗日插值法在求满足插值条件n 次插值多项式)(xPn之前，先考虑一个简单的插值问题...
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