概率论与数理统计频率与概率VIP专享VIP免费

一、频率的定义与性质二、概率的定义与性质三、小结第三节频率与概率事件发生的可能性越大，概率就越大！概率是随机事件发生可能性大小的度量研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.).(,.,,,AfAnnAnAnnnAA成并记发生的频率称为事件比值生的频数发称为事件发生的次数事件次试验中在这次试验进行了在相同的条件下1.定义一、频率的定义与性质2.性质设A是随机试验E的任一事件,则;1)(0)1(Afn;0)(,1)()2(fSf).()()()(,,,,)3(212121knnnkkAfAfAfAAAfAAA则是两两互不相容的事件若试验序号5nHnf12345672315124Hnf50n22252125241827Hn500n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做7遍,观察正面出现的次数及频率.处波动较大在21波动最小随n的增大,频率f呈现出稳定性处波动较小在21实验者德摩根蒲丰nHnf皮尔逊K皮尔逊K204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005)(Hf的增大n.21Afn,的频率正面向上出现从上表中可以看出,次但总的趋势是随着试验的不同而变动虽然随n.5.0这个数值上数的增加而逐渐稳定在定义,行大量的重复试验在不变的一组条件下进会稳定地在某个固定的出现的频率随机事件nA,为随机我们称这个稳定值的附近摆动的数值pp,即的概率事件A.pAP这个定义也称为.概率的统计定义可见,在大量重复的试验中,随机事件出现的频率具有稳定性.即通常所说的统计规律性..例DeweyG.统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率,发现各字母出现的频率不同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.00061933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，使概率论有了迅速的发展.二、概率的定义与性质概率的公理化定义S,是它的是随机试验设E,AP,赋予一个实数的每一个事件对于样本空间AE:,A件如果它满足下列三个条的概率称之为事件;01AP非负性;12SP规范性,,,321有对于两两互斥事件AA2121APAPAAP可列可加性1、概率的定义.0)()1(P证明),,2,1(nAn.,,1jiAAAjinn且则由概率的可列可加性得nnAPP1)(1)(nnAP1)(nP0)(P.0)(P2.概率的性质概率的有限可加性证明,21nnAA令.,2,1,,,jijiAAji由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP1)(kkAP0)(1nkkAP).()()(21nAPAPAP则有是两两互不相容的事件若,,,,)2(21nAAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP).()()(),()(,,,)3(APBPABPBPAPBABA则且为两个事件设证明BA,BA因为).(ABAB所以,)(AAB又.)()()(ABPAPBP得,0)(ABP又因).()(BPAP故).()()(APBPABP于是证明.1)(,)4(APA对于任一事件SA,1)()(SPAP.1)(AP故推论：一般地,()()()PBAPBPAB(减法公式)).(1)(,)5(APAPAA则的对立事件是设,1)(,,SPAASAA因为).(1)(APAP证明)()(1AAPSP所以.)()(APAP).()()()(,)()6(ABPBPAPBAPBA有对于任意两事件加法公式证明AB由图可得),(ABBABA,)(ABBA且).()()(ABBPAPBAP故又由性质3得因此得AB),()()(ABPBPABBP).()()()(ABPBPAPBAP推广三个事件和的情况)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAPn个事件和的情况)(21nAAAPnjijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAPABABABCCACBC)()()(BPAPBAP【注】事件互不相容时的加法公式...