创新题(数学)VIP专享VIP免费

函数创新题赏析 随着高中新课程标准、新教材的使用，对考生创新意识和创新能力的要求逐步提高。“出活题，考能力”要求学生能综合灵活运用所学数学知识，思想方法。对新概念、新知识、新信息、新情景、新问题进行分析，探索、创造性的解决问题。下面就函数中这类题型举例。 例 1 ．对于函数)(xf，若存在Rx 0，使00 )(xxf成立，则称0x 为)(xf的不动点。已知函数)1()1()(2bxbaxxf )0( a。 （1 ） 当2,1ba时，求函数)(xf的不动点； （2 ） 若对任意实数b，函数)(xf恒有两个相异的不动点，求 a 的取值范围； （3 ） 在（2 ）的条件下，若)(xfy 图像上BA,两点的横坐标是函数)(xf的不动点，且BA,两点关于直线1212 ak xy对称，求b的最小值。 解析：（1）3)(2xxxf，因为0x 为不动点，因此有002003)(xxxxf所以 10x或30 x，所以3和1为)(xf的不动点。 （2）因为)(xf恒有两个不动点，,)1()1()(2xbxbaxxf 0)1(2bbxax（※），由题设0)1(42bab恒成立，即对任意Rb， 0442aabb恒成立，所以有00)4(4)4(22aaaa，所以10 a。 （3）由（※）式，设方程的两根是 x 1, x 2, 得abxx2221，由题设BA,两点的横坐标是函数)(xf的不动点，即点A,B 在直线 y =x 上，则,1k即1212 axy，设BA,的中点为E （在 对 称 轴 上 ），则 E)1212,2(2 aabab，因为EEyx ，所以121222 aabab，所以有221121122aaaab＝42，因为10 a，当且仅当aa12 即22a时，b有最小值42。 例2 ． 定 义 在 R 上 的函 数)(xf满 足 ：如 果 对 任 意Rxx21,都 有)()(21)2(2121xfxfxxf则 称 函 数)(xf是 R 上 的凹 函 数 ，已 知 二 次 函 数Raxaxxf()(2且)0a， （1）求证：当0a时函数)(xf是凹函数； （2）如果 1,0x时1)(xf，试求实数 a 的范围。 解析：（1）对任意的0,,21aRxx， )2(2)()(2121xxfxfxf ＝)2(212)2(2212221222121221222121xxxxaaxaxxxxxaxaxxax＝0)(21221 xxa，)()(21)2(2121xfxfxxf 故函数)(xf是凹函数。 （2）由111)(11)(2xaxxfxf ① 当0x时，Ra， 当]1,0(x时，①即1122xa...