二次函数的实际应用(面积最值问题含答案)VIP专享VIP免费

1 二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题 知识要点： 在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值； 2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值； 4．利用基本不等式或不等分析法求最值． [例 1]：在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB 边向点 B 以 1cm／s的速度移动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm／s 的速度移动，如果 P、Q 两点同时出发，分别到达 B、C 两点后就停止移动． （1）运动第 t 秒时，△PBQ 的面积 y(cm²)是多少？ （2）此时五边形 APQCD 的面积是 S(cm²)，写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围． （3）t 为何值时 s 最小，最小值时多少？ 答案： 6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（SttStttttStttty [例 2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长 10 米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了 32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个 1 米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？ 解：设花圃的宽为 x 米，面积为S 平方米 则长为：xx4342432(米) x 2 则：)434(xxS xx3442  4289)417(42 x 104340x ∴2176 x 6417 ，∴S 与 x 的二次函数的顶点不在自变量 x 的范围内， 而当2176 x内，S 随 x 的增大而减小， ∴当6x时，604289)4176(42maxS(平方米) 答：可设计成宽6 米，长 10 米的矩形花圃，这样的花圃面积最大． [例 3]：已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图），其中 AF=2，BF=1．试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积． 解：设矩形 PNDM 的边 DN=x，NP=y， 则矩形 PNDM 的面积 S=xy（2≤x≤4） 易知 CN=4-x，EM=4-y． 过点 B 作 BH⊥PN ...