二元函数的极值、最值VIP专享VIP免费

4、二元函数的极值、最值 10 极值定义 P208  00yxfyxf、、 00yxf、为极大值  00yxfyxf、、 00yxf、为极小值  0yxf0yxfyxyxf00y00x00、、有极限值、在、 驻点  极值点，需判别 设 Ayxf00xx、 、 Byxf00xy、 、 Cyxf00yy、 ACB2  f00yx 、 < 0 A < 0 极大值 A > 0 极小值 > 0 非极值 =0 不定 例1、 求xy3yxz33的极值 解：y3x3f2x ，x3y3f2y ，x6fxx  ， 3fxy ，y6fyy  令0f0fyx  0x3y30y3x322  0yy4 1y0y 得驻点 0,0 ，1,1 在0,0 ，0903ACB20,02 ∴ 0,0f非极值 1,1 ， 0363ACB21,12 ∴ 1,1为 极值点 又 06A1,1 ∴ 11,1f 为极小值 例2、求yx5yxz2在闭区域 D：0x ，0y ， 4yx的最大，最小值。 解：y2x310xyfx ，y2x5xf2y 令0y2x5x0y2x310xy2 （在 D 内） 45y25x 在 D 的内部函数只有一个驻点45,25 ，6462545,25f 在边界0x  ，0f  在0y  ，0f  在4yx，3222xx4x4xx4x5x4xz 0x3x8dxdz2  得：38x  ，即38x  ，34y 为驻点 2725634,38z 比较64625z  ，0z  ，27256z  得最大值64625z  ，最小值0z  在实际问题中要求最大，最小值往往带有附加条件，即对函数的自变量除了限制在函数的定义域内外，还有其他的附加条件，这些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。 例3、 求原点到曲线  0y,x的最大距离 此题即在条件  0y,x下求22yxz的最小值问题 2 0 条件极值、拉格朗日乘数法 在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别 求在条件 0y,x下, y,xfz 的极值 令y,xy,xfF 称y,xf为目标函数, 为拉格朗日常数 0F0F0Fyx 解得的y,x为可能的极值点 例1、求曲面223y2xy3x4z到平面14zyx的最短距离 解法一、曲面上任一点（x，y，z）到平...