1 第七节扩散问题的偏微分方程模型物质的扩散问题，在石油开采、环境污染、疾病流行、化学反应、新闻传播、煤矿瓦斯爆炸、 农田墒情、 水利工程、 生态问题、 房屋基建、 神经传导、 药物在人体内分布以及超导、液晶、燃烧等诸多自然科学与工程技术领域，十分普遍地存在着. 显然，对这些问题的研究是十分必要的，其中的数学含量极大. 事实上，凡与反应扩散有关的现象，大都能由线性或非线性抛物型偏微分方程作为数学模型来定量或定性地加以解决. ＭＣＭ的试题来自实际，是“真问题数学建模计算机处理”的“三合一”准科研性质的一种竞赛， 对上述这种有普遍意义和数学含量高，必须用计算机处理才能得到数值解的扩散问题，当然成为试题的重要来源，例如，ＡＭＣＭ-90Ａ，就是这类试题；ＡＭＣＭ-90Ａ要研究治疗帕金森症的多巴胺（dopamine）在人脑中的分布，此药液注射后在脑子里经历的是扩散衰减过程，可以由线性抛物型方程这一数学模型来刻划. ＡＭＣＭ -90Ａ要研究单层住宅混凝土地板中的温度变化，也属扩散 （热传导） 问题， 其数学模型与ＡＭＣＭ-90Ａ一样，也是线性抛物型方程. 本文交代扩散问题建模的思路以及如何推导出相应的抛物型方程，如何利用积分变换求解、如何确定方程与解的表达式中的参数等关键数学过程，且以ＡＭＣＭ-90Ａ题为例，显示一个较细致的分析、建模、求解过程. §1抛物型方程的导出设( , , , )u x y z t是 t 时刻点 ( , , )x y z 处一种物质的浓度. 任取一个闭曲面S ，它所围的区域是，由于扩散，从t 到 tt 时刻这段时间内，通过S 流入的质量为2221(coscoscos )dSdtttSuuuMabctxyz. 由高斯公式得2222221222()d d d dtttuuuMabcx y z txyz.（1）其中，222,,abc 分别是沿, ,x y z 方向的扩散系数. 由于衰减（例如吸收、代谢等），内的质量减少为22d d d dtttMk u x y z t ，（ 2）其中2k 是衰减系数 . 由物质不灭定律，在内由于扩散与衰减的合作用，积存于内的质量为12MM. 换一种角度看，内由于深度之变化引起的质量增加为3[ ( , , ,)( , , , )]d d dd d d d . (3)tttMu x y z ttu x y z tx y zu x y z tt显然312MMM，即2 2222222222d d d d()d d d d .ttttttu x y z ttuuuabck ux y z txyz由, ,t t之任意性得2222222222uuuuabck utxyz（4）方程（４）是常系数线性抛物型方程，它就是有衰减的扩...
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