2 0 1 2 年全国高中数学联赛河南省预赛试题 本试卷满分1 4 0 分 一、填空题（满分64 分） 1、在小于 20 的正整数中，取出三个不同的数，使它们的和能够被 3 整除，则不用的取法种数为_________________. 2、将长为的线段任意截成三段，则这三段能够组成三角形的概率为_________________. 3、在 ABC中，26CB，，2AC ，M 为 AB 中点，将 ACM沿CM 折起，使,A B 之间的距离为2 2 ，则点M 到面 ABC 的距离为_________________. 4、若锐角 满足12 3tan10tan 2tan 2o ，则角 的度数为_________________. 5、函数22|log|,04( )2708,433xxf xxxx ，若,,,abcd互不相同，且( )( )( )( )f af bf cf d，则abcd 的取值范围是_________________. 6 、 各 项 均 为 正 数的 等 比 数列 na中，4321228aaaa ， 则872aa的 最 小 值 为_________________. 7、一只蚂蚁由长方体1111ABCDABC D顶 点A 出发，沿着长方体的表面达到顶点1C 的最短距离为6，则长方体的体积最大值为______________. 8、 x表示不超过实数x的最大整数，则 2222log 1log 2log 3log 2012_________. 二 、（ 本题满分16分） 如 图 ， 已 知 四 棱 锥 EABCD的 地 面 为 菱 形 ， 且3ABC,2ABEC,2AEBE. （1）求证：平面 EABABCD平面； （2）求二面角 AECD的余弦值. 三、（本题满分 20 分）已知函数ln (1)( )xf xx （1）当时0x ，求证： （2）当1x 且0x 时，不等式1( )1kxf xx成立，求实数的值. 四、（本题满分 2 0 分）数列 nx中，11x 且1111nnxx （1 ）设12nnax，求数列 na的通项公式. （2 ）设2nnbx，数列 nb的前n 项的和为nS ，证明：22nS . 五、（本题满分 2 0 分）已知椭圆2214xy，P 是圆221 6xy上任意一点，过P 点作椭圆的切线,PA PB ，切点分别为 ,A B ，求 PA PB 的最大值和最小值.
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