1 2 0 1 2 年全国高中数学联赛一试 参考答案及详细评分标准 一、填空题：本大题共8 小题，每小题8 分，共6 4 分．把答案填在题中的横线上． 1.设 P 是函数 2yxx（0x ）的图像上任意一点，过点 P 分别向 直线 yx和 y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则 PA PB的值是 ． 2.设 ABC的内角, ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且满足3coscos5aBbAc， 则 tantanAB 的值是 . 3.设 , ,[0,1]x y z，则||||||Mxyyzzx的最大值是 . 4.抛物线22(0)ypx p的焦点为 F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的 两个动点，且满足3AFB．设线段ＡＢ的中点 M 在ｌ上的投影为 N ， 则 ||||MNAB的最大值是 . 5．设同底的两个正三棱锥 PABC和QABC内接于同一个球．若正三棱锥 PABC的侧面与底面所成的角为45 ，则正三棱锥QABC的侧面与底面所成角的正切值是 ． 6.设( )f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0x 时，( )f xx．若对任意的[ ,2]xa a，不等式()2 ( )f xaf x恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 7.满足 11sin43n的所有正整数n 的和是 ． 8.某情报站有, ,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示） 二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演 算 步 骤 ． 9.（本小题满分16分）已 知 函数131( )sincos 2,,022f xaxxaaR aa （1）若对任意 xR，都有( )0f x ，求 a 的取值范围； （2）若2a ，且存 在 xR，使得( )0f x ，求 a 的取值范围． 2 10.（本小题满分20分）已知数列 na的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有 23331212()nnaaaaaa （1）当3n 时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ; （2）是否存在满足条件的无穷数列{}na，使得20132012?a 若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． 11.（本小题满分20分） 如图，在平面直角坐标系 XOY 中，菱形 ABCD 的边长为4 ，且6OBOD． （1）求证：|| ||OAOC为定值； （2）当点A在半圆22(2)4xy（24x）上运动时， 求点C 的...
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