1 2012年全国高中数学联赛一试及加试试题 一、 填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上． 1.设 P 是函数2yxx（0x ）的图像上任意一点，过点P 分别向 直线yx和 y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB的值是_____________. 2.设ABC的内角, ,A B C 的对边分别为, ,a b c ，且满足3coscos5aBbAc， 则 tantanAB 的值是_____________. 3.设, ,[0,1]x y z，则||||||Mxyyzzx的最大值是_____________. 4.抛物线22(0)ypx p的焦点为F ，准线为l ，,A B 是抛物线上的 两个动点，且满足3AFB．设线段AB 的中点M 在 l 上的投影为N ， 则 ||||MNAB的最大值是_____________. 5．设同底的两个正三棱锥PABC和 QABC内接于同一个球．若正三棱锥PABC的侧面与底面所成的角为45 ，则正三棱锥QABC的侧面与底面所成角的正切值是_____________. 6.设( )f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，( )f xx． 若对任意的[ ,2]xa a， 不等式()2 ( )f xaf x恒成立，则实数a 的取值范围是_____________. 7．满足11sin43n的所有正整数n 的和是_____________. 8．某情报站有, ,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使用A 种密码的概率是_____________.（用最简分数表示） 二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）已知函数131( )sincos 2,,022f xaxxaaR aa （ 1）若对任意xR，都有( )0f x ，求a 的取值范围； （ 2）若2a ，且存在xR，使得( )0f x ，求a 的取值范围． 2 10．（本小题满分２０分）已知数列 na的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有 23331212()nnaaaaaa （ 1）当3n 时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ; （ 2）是否存在满足条件的无穷数列{}na，使得20132012?a 若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． 11．（本小题满分20分） 如图5，在平面直角坐标系XOY 中， 菱形ABCD 的边长为4 ，且6OBOD． （ 1）求证：|| ||OAOC为定值； （ 2）当点A在半圆22(2)4xy...
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