1 / 11 微积分（上）理工课程试题（ A）合分人：复查人：一、求解下列各题（每小题5 分，共 25 分）分数评卷人1.设221,1( )2,1xxxf xxxx，求(1)(1)fafa ，其中0a. 2.求102sinlim||1xxxxe. 3.求303sinsin 3limxxxx题号一二三四五总分分数2 / 11 4.已知( )F x 在 [ 1,1] 上连续，在 ( 1,1) 内21( ),1Fxx且3(1),2F求( ).F x5.讨论级数21(0)nnncc的敛散性 . 二、求解下列各题（每小题6 分，共 30 分）分数评卷人3 / 11 1.设212sin,0( )0,0xxxf xxx, 求(0)f. 2.求23( )3(2)fxx的极值 .3. 设( )yy x 由方程(sin)sin[( )]()fxfyf xy 所确定 , 其中( )f t 可导 , 且( )cos[( )]().fyf yfxy求.dy4 / 11 4. 设222secsectanxtyttt，求22 .d ydx5. 将21( )23f xxx展开为 (1)x的幂级数 , 并指出其收敛区间 . 5 / 11 三、求下列积分（每小题7 分，共 28 分）分数评卷人1.求45sincosxxdx . 2.求2(1)xxxedxe. 3.求120arcsin1xxdxx. 6 / 11 4.求322coscosxxdx. 四、应用题（共10 分）分数评卷人7 / 11 设曲线为lnyx . (1)求该曲线过原点的切线方程; (2)求由上述切线与曲线及x 轴所围平面图形的面积; (3)求(2)中平面图形绕y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积. 五、证明题（共7 分）分数评卷人8 / 11 若( )fx 在 (,) 上连续 , 且0( )(2 )( ).xF xxt f t dt证明: 当( )f x 为单调递减时 , ( )F x 必定单调递增 . 2009 级微积分（上）理工课程试题（A）( 答案 ) 一．1 解：原式 =22[2(1)(1) ][(1)(1)1]aaaa =22aa2 解：102sin(0 )lim2111xxxfxe102sin(0 )lim0111xxxfxe故原式 =1 3 解：原式 =203cos3cos3lim3xxxx =0sin3sin 3lim2xxxx =4 5分4 解：21( )arcsin( 11)1F xdxxcxx因( )F x 在 [ 1,1]上连续，且3(1),2F故 c( )arcsin( 11)F xxx9 / 11 5 解：2112(1)1limlimnnnnnnnucnucc故当 01c时，级数发散；当1c时，级数收敛；但1c时， lim0nnu，级数发散。二．1 解：20012sin( )(0)(0)limlim0xxxxf xfxfxx0lim(2sin)202xxx 2解：323 (2)yx当2x时，( )fx 不存在，且当2x时，( )0fx；当2x时，( )0fx所以(2)3f是( )fx 的极大值。 3解：(sin )sin[( )](),dfxdf ydf xy(sin)coscos[( )]( )()()fxxdxf yfy dyfxy dxdy()(sin)cos( )cos[( )]().fxyfxxdydxfyfyfxy4 解：222( )se...
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