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微分中值定理的证明题VIP专享VIP免费

微分中值定理的证明题_第1页
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微分中值定理的证明题1.若( )f x 在[ , ]a b 上连续,在 ( , )a b 上可导,( )( )0f af b,证明:R ,( , )a b 使得:( )( )0ff。证:构造函数( )( )xF xfx e,则( )F x 在[ , ]a b 上连续,在 ( , )a b 内可导,且( )( )0F aF b,由罗尔中值定理知:, )a b(,使( )0F即: [( )( )]0ffe,而0e,故( )( )0ff。2.设,0a b,证明:( , )a b ,使得(1)()baaebeeab 。证:将上等式变形得:1111111111(1)()baeeebaba作辅助函数1( )xf xxe ,则( )f x 在 1 1[,]b a上连续,在1 1(,)b a内可导,由拉格朗日定理得:11( )()1()11ffbafba11 1(,)b a,即11111(1)11baeebaeba11 1(,)b a,即: ae(1)( , )bebeea b( , )a b 。3.设( )f x 在 (0,1) 内有二阶导数,且(1)0f,有2( )( )F xx f x 证明:在 (0,1)内至少存在一点,使得:( )0F。证:显然( )F x 在 [0,1] 上连续,在 (0,1) 内可导,又(0)(1)0FF,故由罗尔定理知:0(0,1)x,使得0()0Fx又2( )2( )( )Fxxfxx fx ,故(0)0F, 于是( )Fx 在0[0]x,上满足罗尔定理条件,故存在0(0,)x, 使得:( )0F,而0(0,)x(0,1) ,即证4.设函数)(xf在[0,1] 上连续,在 (0,1) 上可导,0)0(f,1)1(f. 证明:(1) 在(0,1) 内存在,使得1)(f. (2) 在(0,1) 内存在两个不同的点,1)()(//ff使得【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理;第二部分为双介值问题,可考虑用拉格朗日中值定理,但应注意利用第一部分已得结论.【证明】(I)令xxfxF1)()(,则 F(x)在[0,1]上连续,且 F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知,存在存在),1,0(使得0)(F,即1)(f.(II ) 在],0[和]1,[上对 f(x) 分别应用拉格朗日中值定理, 知存在两个不同的点)1,(),,0(,使得0)0()()(fff,1)()1()(fff于是.1111)(1)()()(ffff5.设)(xf在[0 ,2a] 上连续,)2()0(aff,证明在 [0,a] 上存在使得)()(faf. 【分析】)(xf在[0,2a]上连续,条件中没有涉及导数或微分,用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到0)()(0)()()()(xfxaffaffaf【证明】令)()()(xfxafxG,],0[ax.)(xG在[0,a]上连续,且)()0()()2()(affafafaG)0()()0(fafG当)0()(faf时,取0 ,即有)()(faf;当)0()(faf时,0)()0(aGG,由根的存在性定理知存在),0(a 使得,0)(G,即)()(faf.6.若)(xf在]1,0[上可导,且当]1,0[x时有1)(0xf,且1...

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