算术-几何平均值不等式 信息来源：维基百科 在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为 个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是 。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有： 等号成立当且仅当 。 算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。 算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。 例子 在 的情况，设: ， 那么 .可见。 历史上的证明 历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。的情况很早就为人所知，但对于一般的 ，不等式并不容易证明。1729 年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。 柯西的证明 1821 年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]： 命题：对任意的 个正实数， 当 时，显然成立。假设 成立，那么 成立。证明：对于 个正实数， 假设成立，那么成立。证明：对于 个正实数，设，，那么由于成立， 。 但是 ， ，因此上式正好变成 也就是说 综上可以得到结论：对任意的自然数 ，命题 都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数 ，命题 都成立。因此对任意的 ，可以先找 使得 ，再结合第三条就可以得到命题 成立了。 归纳法的证明 使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chry stal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]： 由对称性不妨设 是 中最大的，由于 ，设 ，则 ，并且有 。 根据二项式定理， 于是完成了从 到 的证明。 此外还有更简洁的归纳法证明[3]： 在 的情况下有不等式 和 成立，于是： 所以 ，从而有。 基于琴生不等式的证明 注意到几何平均数 实际上等于 ，因此算术-几何平均不等式等价于： 。 由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。 基于排序不等式的证明 令 ，于是有 ，再作代换 ，运用排序不等式得到： ， 于是得到 ，即原不等式成立。 此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。 推广 算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。 加权算术-几何平均不等式 不仅“均匀”的算术平均数...
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