巧用“两线合一”构建且证明等腰三角形问题 学习了等腰三角形的三线合一后，笔者认为，可以根据学生的实际情况，补充“三线合一”的逆命题的教学，因为这种逆命题虽然不能作为定理用，但它在解题中非常常见的。掌握了它，可以为我们解题增加一种重要思路。它有以下几种形式： ①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质） ②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形． ③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形. 因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能证明它是等腰三角形． 为了便于记忆，笔者简言之：两线合一，必等腰。 本文重点利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线，构建等腰三角形且证明之来解决问题。 一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性： 证明①：已知:如图 1，△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，又是 BC 边上的高。 求证：△ABC 是等腰三角形。 分析：AD 就是 BC 边上的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，可以推出AB=AC，所以△ABC 是等腰三角形。具体证明过程略。 证明②：已知:如图 1，△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AD 是 BC 边上的高。 求证：△ABC 是等腰三角形。 分析：利用ASA 的方法来证明△ABD≌△ACD，由此推出AB=AC 得出△ABC 是等腰三角形。具体证明过程略。 证明③：已知:如图 2， △ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线， AD 是 BC 边上的中线。 求证：△ABC 是等腰三角形。 方法一： 分析：要证△ABC 是等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线段所在的三角形全等不行，那就换种思路，经验告诉我们，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“倍长中线法”（即通过延 长三角形的中线使 之加倍，以便构造 出全等三角形来解决问题的方法），即延 长AD 到 E 点，使 DE=AD，由此问题就解决了。 证明：如图 2，延 长AD 到 E 点，使 DE=AD，连 接BE 在△ADC 和△EDB 中 AD = DE ∠ADC=∠EDB CD=BD ∴△ADC≌△EDB ∴AC=BE, ∠CAD=∠BED AD 是∠BAC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD ∴∠BED=∠BAD ∴AB=BE 又 AC=BE ∴AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形。 方法二： 分析：上面的“倍长中线法”稍微有点麻烦，经验告诉我们，遇到角的平分线，我们可以利用角的平分线的性质...
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