下载后可任意编辑2024 年自招与三位一体专题 第七讲 定积分与微积分应用在近年自主招生试题中，有关导数与积分的内容大约占 20%—30%。一、知识精讲一．定积分：设函数在上有界，在中任意插入若干个分点。把区间分成个小区间，各小区间的长度依次为并 作 和， 记， 假 如 不 论 对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和趋于确 定 的 极 限， 我 们 称 这 个 极 限为 函 数在 区 间上 的 定 积 分 ， 记 为。二．定积分存在定理：① 当函数在区间上连续时，则在区间上可积；② 设函数在区间上有界，且只有有限个间断点，则在区间上可积。三．定积分的几何意义： 时，，则表示的图像与及轴围成的曲边梯形面积；若，令，则表示的图像与及轴围成的曲边梯形面积的负值。四．微积分基本定理：牛顿-莱布尼兹公式假如是区间上的连续函数，并且，则。若记，则。牛顿-莱布尼兹公式沟通了导数与积分之间的关系，由此求定积分问题转化为求原函数下载后可任意编辑问题。五．洛必塔法则：设（1）假如当时，函数都趋于零；（2）在内，都存在，且；（3）极限存在（或为无穷大）；则存在，且。上述准则称为洛必塔法则。六．二次曲线在某点处的切线方程：① 设是圆上一点，则过的圆切线方程为；② 设是椭圆上一点，则过点的椭圆切线方程为；③ 设是双曲线上一点，则过的双曲线切线方程为；④ 设是抛物线上一点，则过的抛物线切线方程为；七．函数的单调性：若函数在内可导，则在内递增（递减）的充要条件是（），。八．函数的极值：1.定义： 已知函数及其定义域内一点，对于存在一个包含的开区间内的所有点，假如都有 则称函数在点处取得极大值，记作，并把称为函数的一个极大值点；假如都有 则称函数在点处取得微小值，记作，并把称为函数的一个微小值点极大值与微小值统称为极值，极大值点与微小值点统称为极值点。注意：下载后可任意编辑 （1）.函数的最大（小）值是函数在指定区间内的最大（小）值； （2）.极值与最值不同，极值只是相对一点附件 的局部性质，而最值是想对整个定义域内或所讨论问题的整体性质。2.极值的必要条件：若函数在可导，且在处取得极值，则。九．两个重要的极限：1.， 2. 三、典例精讲例 1．（2024 复旦）设为正数，，若在区间上大于 0，则的取值范围是（ ）。（A） （B） （C） （D）►答案：A►分析与解：，当时，，所以在上单调递减，所以在上大于 0，当...
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