1 / 7 专题研究：应用微分中值定理的常见证明方法一 至少存在一点)b,a(，使得0)(f)n(的命题。其思路有二：（1）验证0)x(f)1-n(在]b,a[上满足罗尔中值定理条件(Roll theory), 由该定理得证。（2）验证为)x(f1)-n(的最值点或极值点，用费马定理（Format theory ）得到命题证明。例 1 设函数)x(f在]b,a[上可导，且有0)b('f)a('f，则在)b,a(内至少存在一个，使得0)('f解：由题设0)b('f)a('f，可知)b('f)a('f和异号，不妨设)a('f<0, )b('f>0 0ax)a(f)x(f)a('flimax,由极限的保号性可得：01，当)a,a(x1 时有0ax)a(f)x(f)a(f)x(f同理：0bx)b(f)x(f)b('flimax02，当)b,-b(x2时有0bx)b(f)x(f)b(f)x(f又因为)x(f在]b,a[上连续，)x(f在]b,a[上必有最小值，由以上可知最小值必在)b,a(内。设)}x(f{)(f),b,a(minbxa，由费马定理可知0)('f例 2 若函数)x(f在)b,a(内具有二阶导数，且0)x(f)x(f)x(f321，其中bxxxa321，证明：在)x,x(31内至少有一点，使得：0)(''f证：依题意，可对f(x) 在],[],x,[3221xxx分别应用罗尔中值定理，故存在0)('f1),(211xx，0)('f2),(322xx。则)(' xf在],[],[3121xx上满足罗尔中值定理条件，所以在)x,x(31内至少有一点],[],[3121xx使得：0)(''f。例 3 已知函数)x(f在]b,a[上连续，在)b,a(内x)(''f存在，又连结))a(f,a(A，))b(f,b(B两点的直线交曲线)x(fy于))c(f,c(C，且bca，试证：在)b,a(内至少存在一个,使得：0)(''f证：依题意，可对f(x) 在]b,c[],c,a[分别应用拉格朗日中值定理(Lagrange theory) ，则有：ac)a(f)c(f)('f1)c,a(1ab)a(f)b(f)('f2)b,c(2因为C,B,A三点共线，所以：ab)a(f)b(fcb)c(f)b(fac)a(f)c(f故：)('f)('f21，所以)x('f在],[21上满足罗尔定理于是存在一个)b,a(),(21，使得：0)(''f2 / 7 练 习 : 设)(xf在]2,1[内 连 续 , 在)2,1(内 可 导 ，且0)2(f， 则 至 少 存在 一 点)1,0(， 使 得：ln)()('ff分析：要证结论成立，只需证明：0lnln)(ln(lnln)(lnln1)()('xxfxxfff两边求不定积分）1ln)(0)ln)(ln(xxfxxf，做辅助函数1ln)()(xxfxF，利用罗尔定理。二 至少存在一点)b,a(，使得k))(f),(f),(f)(f()n((2)(1))0k(的命题。其证明思路如下：（1）做辅助函数)x(F；（2）验证)x(F满足罗尔定理条件； （3）由定理结论得出证明。构造辅助函数的常用方法：（一）原函数法。（1）将欲证结论中的换成 x ；（2）通过恒等变形（一般两边求不定积分）将结论化为以消除导数符号的形式；（...
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